Unvollständig

Zusammenfassung In der Lebensdauerprüfung, medizinischen Nachuntersuchungen und anderen Bereichen kann die Beobachtung des Zeitpunkts des Eintretens des interessierenden Ereignisses (ein Tod genannt) für einige Elemente der Stichprobe durch das vorherige Eintreten eines anderen Ereignisses (ein Verlust genannt) verhindert werden. Verluste können entweder zufällig oder kontrolliert sein, wobei letztere auf einer Entscheidung zur Beendigung bestimmter Beobachtungen beruhen. In diesem Papier wird in jedem Fall üblicherweise angenommen, dass die Lebensdauer (Alter zum Tod) unabhängig von der potenziellen Verlustzeit ist; in der Praxis verdient diese Annahme eine sorgfältige Prüfung. Trotz der daraus resultierenden Unvollständigkeit der Daten soll der Anteil P(t) der Elemente in der Bevölkerung geschätzt werden, deren Lebensdauer t überschreiten würde (in Abwesenheit solcher Verluste), ohne irgendeine Annahme über die Form der Funktion P(t) zu treffen. Für jedes Element wird die Beobachtung eines geeigneten Anfangseignisses, das den Beginn seiner Lebensdauer markiert, vorausgesetzt. Für Zufallsstichproben der Größe N kann die Produkt-Limit-Schätzung (PL) wie folgt definiert werden: Listen und kennzeichnen Sie die N beobachteten Lebensdauern (ob zum Tod oder Verlust) in aufsteigender Reihenfolge, so dass man 0≤t 1ǐ≤t 2ǐ≤ … ≤t N ǐ hat. Dann ist P(t)= II. [(N – r)/(N – r + 1)], wobei r diejenigen Werte annimmt, für die tr ≤t gilt, und für die tr ǐ die Zeit bis zum Tod misst. Diese Schätzung ist die Verteilung, die bezüglich der Form unbegrenzt ist und die Wahrscheinlichkeit der Beobachtungen maximiert. Andere besprochene Schätzungen sind die aktuariellen Schätzungen (die ebenfalls Produkte sind, aber die Anzahl der Faktoren durch Gruppierung in der Regel reduziert wird); und reduzierte-Stichproben (RS)-Schätzungen, die erfordern, dass Verluste nicht zufällig sein müssen, so dass die Beobachtungsgrenzen (potenzielle Verlustzeiten) auch für diejenigen Elemente bekannt sind, deren Tode beobachtet werden. Wenn keine Verluste im Alter unter t auftreten, reduziert sich die Schätzung von P(t) in allen Fällen auf die übliche binomiale Schätzung, nämlich den beobachteten Anteil der Überlebenden.

@article{doi10108001621459195810501452,
    author = "Kaplan, Edward L. und Meier, Paul",
    title = "Nonparametric Estimation from Incomplete Observations",
    year = "1958",
    journal = "Journal of the American Statistical Association",
    abstract = "Zusammenfassung In der Lebensdauerprüfung, medizinischen Nachuntersuchungen und anderen Bereichen kann die Beobachtung des Zeitpunkts des Eintretens des interessierenden Ereignisses (ein Tod genannt) für einige Elemente der Stichprobe durch das vorherige Eintreten eines anderen Ereignisses (ein Verlust genannt) verhindert werden. Verluste können entweder zufällig oder kontrolliert sein, wobei letztere auf einer Entscheidung zur Beendigung bestimmter Beobachtungen beruhen. In diesem Papier wird in jedem Fall üblicherweise angenommen, dass die Lebensdauer (Alter zum Tod) unabhängig von der potenziellen Verlustzeit ist; in der Praxis verdient diese Annahme eine sorgfältige Prüfung. Trotz der daraus resultierenden Unvollständigkeit der Daten soll der Anteil P(t) der Elemente in der Bevölkerung geschätzt werden, deren Lebensdauer t überschreiten würde (in Abwesenheit solcher Verluste), ohne irgendeine Annahme über die Form der Funktion P(t) zu treffen. Für jedes Element wird die Beobachtung eines geeigneten Anfangseignisses, das den Beginn seiner Lebensdauer markiert, vorausgesetzt. Für Zufallsstichproben der Größe N kann die Produkt-Limit-Schätzung (PL) wie folgt definiert werden: Listen und kennzeichnen Sie die N beobachteten Lebensdauern (ob zum Tod oder Verlust) in aufsteigender Reihenfolge, so dass man 0≤t 1ǐ≤t 2ǐ≤ … ≤t N ǐ hat. Dann ist P(t)= II. [(N – r)/(N – r + 1)], wobei r diejenigen Werte annimmt, für die tr ≤t gilt, und für die tr ǐ die Zeit bis zum Tod misst. Diese Schätzung ist die Verteilung, die bezüglich der Form unbegrenzt ist und die Wahrscheinlichkeit der Beobachtungen maximiert. Andere besprochene Schätzungen sind die aktuariellen Schätzungen (die ebenfalls Produkte sind, aber die Anzahl der Faktoren durch Gruppierung in der Regel reduziert wird); und reduzierte-Stichproben (RS)-Schätzungen, die erfordern, dass Verluste nicht zufällig sein müssen, so dass die Beobachtungsgrenzen (potenzielle Verlustzeiten) auch für diejenigen Elemente bekannt sind, deren Tode beobachtet werden. Wenn keine Verluste im Alter unter t auftreten, reduziert sich die Schätzung von P(t) in allen Fällen auf die übliche binomiale Schätzung, nämlich den beobachteten Anteil der Überlebenden.",
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    doi = "10.1080/01621459.1958.10501452",
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Zusammenfassung In der Lebensdauerprüfung, medizinischen Nachsorge und anderen Bereichen kann die Beobachtung des Zeitpunkts des Eintretens des interessierenden Ereignisses (ein Tod genannt) für einige Elemente der Stichprobe durch das vorherige Eintreten eines anderen Ereignisses (ein Verlust genannt) verhindert werden. Verluste können entweder zufällig oder kontrolliert sein, wobei letztere auf einer Entscheidung zur Beendigung bestimmter Beobachtungen zurückzuführen sind. In diesem Papier wird in beiden Fällen üblicherweise angenommen, dass die Lebensdauer (Alter zum Tod) unabhängig von der potenziellen Verlustzeit ist; in der Praxis verdient diese Annahme eine sorgfältige Prüfung. Trotz der daraus resultierenden Unvollständigkeit der Daten soll der Anteil P(t) der Elemente in der Bevölkerung geschätzt werden, deren Lebensdauer t überschreiten würde (in Abwesenheit solcher Verluste), ohne irgendeine Annahme über die Form der Funktion P(t) zu treffen. Die Beobachtung für jedes Element eines geeigneten Anfangseignisses, das den Beginn seiner Lebensdauer markiert, wird vorausgesetzt. Für Zufallsstichproben der Größe N kann die Produktgrenzschätzung (PL) wie folgt definiert werden: Listen und kennzeichnen Sie die N beobachteten Lebensdauern (ob zum Tod oder Verlust) in aufsteigender Reihenfolge, so dass man 0≤t 1ǐ≤t 2ǐ≤ … ≤t N ǐ hat. Dann P(t)= II. [(N – r)/(N – r + 1)], wobei r diejenigen Werte annimmt, für die tr ≤t gilt, und für die tr ǐ die Zeit bis zum Tod misst. Diese Schätzung ist die Verteilung, die bezüglich der Form unbegrenzt ist und die Wahrscheinlichkeit der Beobachtungen maximiert. Andere Schätzungen, die diskutiert werden, sind die aktuariellen Schätzungen (die ebenfalls Produkte sind, aber die Anzahl der Faktoren in der Regel durch Gruppierung reduziert wird); und reduzierte-Stichproben (RS)-Schätzungen, die erfordern, dass Verluste nicht zufällig sind, so dass die Beobachtungsgrenzen (potenzielle Verlustzeiten) auch für diejenigen Elemente bekannt sind, deren Tode beobachtet werden. Wenn keine Verluste im Alter unter t auftreten, reduziert sich die Schätzung von P(t) in allen Fällen auf die übliche binomiale Schätzung, nämlich den beobachteten Anteil der Überlebenden.

@article{doi1023072281868,
    author = "Kaplan, Edward L. und Meier, Paul",
    title = "Nonparametric Estimation from Incomplete Observations",
    year = "1958",
    journal = "Journal of the American Statistical Association",
    abstract = "Zusammenfassung In der Lebensdauerprüfung, medizinischen Nachsorge und anderen Bereichen kann die Beobachtung des Zeitpunkts des Eintretens des interessierenden Ereignisses (ein Tod genannt) für einige Elemente der Stichprobe durch das vorherige Eintreten eines anderen Ereignisses (ein Verlust genannt) verhindert werden. Verluste können entweder zufällig oder kontrolliert sein, wobei letztere auf einer Entscheidung zur Beendigung bestimmter Beobachtungen zurückzuführen sind. In diesem Papier wird in beiden Fällen üblicherweise angenommen, dass die Lebensdauer (Alter zum Tod) unabhängig von der potenziellen Verlustzeit ist; in der Praxis verdient diese Annahme eine sorgfältige Prüfung. Trotz der daraus resultierenden Unvollständigkeit der Daten soll der Anteil P(t) der Elemente in der Bevölkerung geschätzt werden, deren Lebensdauer t überschreiten würde (in Abwesenheit solcher Verluste), ohne irgendeine Annahme über die Form der Funktion P(t) zu treffen. Die Beobachtung für jedes Element eines geeigneten Anfangseignisses, das den Beginn seiner Lebensdauer markiert, wird vorausgesetzt. Für Zufallsstichproben der Größe N kann die Produktgrenzschätzung (PL) wie folgt definiert werden: Listen und kennzeichnen Sie die N beobachteten Lebensdauern (ob zum Tod oder Verlust) in aufsteigender Reihenfolge, so dass man 0≤t 1ǐ≤t 2ǐ≤ … ≤t N ǐ hat. Dann P(t)= II. [(N – r)/(N – r + 1)], wobei r diejenigen Werte annimmt, für die tr ≤t gilt, und für die tr ǐ die Zeit bis zum Tod misst. Diese Schätzung ist die Verteilung, die bezüglich der Form unbegrenzt ist und die Wahrscheinlichkeit der Beobachtungen maximiert. Andere Schätzungen, die diskutiert werden, sind die aktuariellen Schätzungen (die ebenfalls Produkte sind, aber die Anzahl der Faktoren in der Regel durch Gruppierung reduziert wird); und reduzierte-Stichproben (RS)-Schätzungen, die erfordern, dass Verluste nicht zufällig sind, so dass die Beobachtungsgrenzen (potenzielle Verlustzeiten) auch für diejenigen Elemente bekannt sind, deren Tode beobachtet werden. Wenn keine Verluste im Alter unter t auftreten, reduziert sich die Schätzung von P(t) in allen Fällen auf die übliche binomiale Schätzung, nämlich den beobachteten Anteil der Überlebenden.",
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    doi = "10.2307/2281868",
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Der Produkt-Limit-Schätzer für eine Verteilungsfunktion, geeignet für Beobachtungen, die variabel zensiert sind, wurde von Kaplan und Meier 1958 eingeführt; er hat eine Grundlage für die Untersuchung komplexerer Probleme durch Cox und andere geliefert. Seine Eigenschaften im Fall der zufälligen Zensierung wurden von Efron und späteren Autoren untersucht. Die grundlegenden Eigenschaften des Produkt-Limit-Schätzers werden hier als eng parallel zu den Eigenschaften der empirischen Verteilungsfunktion im allgemeinen Fall von variabel und willkürlich zensierten Beobachtungen gezeigt.

@article{doi101017s0021900200047574,
    author = "Meier, Paul",
    title = "Estimation of a Distribution Function from Incomplete Observations",
    year = "1975",
    journal = "Journal of Applied Probability",
    abstract = "The product-limit estimator for a distribution function, appropriate to observations which are variably censored, was introduced by Kaplan and Meier in 1958; it has provided a basis for study of more complex problems by Cox and by others. Its properties in the case of random censoring have been studied by Efron and later writers. The basic properties of the product-limit estimator are here shown to be closely parallel to the properties of the empirical distribution function in the general case of variably and arbitrarily censored observations.",
    url = "https://doi.org/10.1017/s0021900200047574",
    doi = "10.1017/s0021900200047574",
    openalex = "W2790594745",
    references = "doi101214aoms1177731170"
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Zusammenfassung Ein weit anwendbares Algorithmus zur Berechnung von Maximum-Likelihood-Schätzungen aus unvollständigen Daten wird auf verschiedenen Ebenen der Allgemeinheit vorgestellt. Theorie, die das monotone Verhalten der Likelihood und die Konvergenz des Algorithmus zeigt, wird hergeleitet. Viele Beispiele werden skizziert, einschließlich Situationen mit fehlenden Werten, Anwendungen auf gruppierte, zensierte oder abgeschnittene Daten, endliche Mischungsmodelle, Schätzung von Varianzkomponenten, Schätzung von Hyperparametern, iterativ gewichtete kleinste Quadrate und Faktoranalyse.

@article{doi101111j251761611977tb01600x,
    author = "Dempster, A. P. und Laird, N. M. und Rubin, Donald B.",
    title = "Maximum Likelihood from Incomplete Data Via the EM Algorithm",
    year = "1977",
    journal = "Journal of the Royal Statistical Society Series B (Statistical Methodology)",
    abstract = "Zusammenfassung Ein weit anwendbares Algorithmus zur Berechnung von Maximum-Likelihood-Schätzungen aus unvollständigen Daten wird auf verschiedenen Ebenen der Allgemeinheit vorgestellt. Theorie, die das monotone Verhalten der Likelihood und die Konvergenz des Algorithmus zeigt, wird hergeleitet. Viele Beispiele werden skizziert, einschließlich Situationen mit fehlenden Werten, Anwendungen auf gruppierte, zensierte oder abgeschnittene Daten, endliche Mischungsmodelle, Schätzung von Varianzkomponenten, Schätzung von Hyperparametern, iterativ gewichtete kleinste Quadrate und Faktoranalyse.",
    url = "https://doi.org/10.1111/j.2517-6161.1977.tb01600.x",
    doi = "10.1111/j.2517-6161.1977.tb01600.x",
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    references = "doi1010029780470316436, doi101007bf02289343, doi101017s0305004100009580, doi10108001621459197710480998, doi101093biomet583545, doi101093biomet633581, doi101214aoms1177697196, doi101214aoms1177703732, doi1023071909900, doi1023072063625"
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Der Bereich der modernen Finanzwirtschaft umfasst Finanzwesen, Mikro-Investmenttheorie und einen Großteil der Ökonomie der Unsicherheit. Wie sich aus seinem Einfluss auf andere Wirtschaftszweige einschließlich der öffentlichen Finanzen, der industriellen Organisation und der Geldtheorie ergibt, sind die Grenzen dieses Bereichs sowohl durchlässig als auch flexibel. Die komplexen Wechselwirkungen von Zeit und Unsicherheit garantieren intellektuelle Herausforderungen und intrinsische Spannung für die Erforschung der Finanzwirtschaft. Tatsächlich enthalten die Mathematik des Faches einige der interessantesten Anwendungen der Wahrscheinlichkeits- und Optimierungstheorie. Doch trotz aller mathematischen Verfeinerung hat die Forschung dennoch einen direkten und signifikanten Einfluss auf die Praxis gehabt. So war es nicht immer. Vor dreißig Jahren war die Finanztheorie kaum mehr als eine Sammlung von Anekdoten, Faustregeln und Manipulationen von Buchhaltungsdaten mit fast ausschließlichem Fokus auf das unternehmerische Finanzmanagement. In diesem Treffen der Gilde besteht kein Bedarf, die anschließende Entwicklung von diesem konzeptionellen Sammelsurium zu einer strengen ökonomischen

@article{doi101111j154062611987tb04565x,
    author = "Merton, Robert C.",
    title = "A Simple Model of Capital Market Equilibrium with Incomplete Information",
    year = "1987",
    journal = "The Journal of Finance",
    abstract = "Der Bereich der modernen Finanzwirtschaft umfasst Finanzwesen, Mikro-Investmenttheorie und einen Großteil der Ökonomie der Unsicherheit. Wie sich aus seinem Einfluss auf andere Wirtschaftszweige einschließlich der öffentlichen Finanzen, der industriellen Organisation und der Geldtheorie ergibt, sind die Grenzen dieses Bereichs sowohl durchlässig als auch flexibel. Die komplexen Wechselwirkungen von Zeit und Unsicherheit garantieren intellektuelle Herausforderungen und intrinsische Spannung für die Erforschung der Finanzwirtschaft. Tatsächlich enthalten die Mathematik des Faches einige der interessantesten Anwendungen der Wahrscheinlichkeits- und Optimierungstheorie. Doch trotz aller mathematischen Verfeinerung hat die Forschung dennoch einen direkten und signifikanten Einfluss auf die Praxis gehabt. So war es nicht immer. Vor dreißig Jahren war die Finanztheorie kaum mehr als eine Sammlung von Anekdoten, Faustregeln und Manipulationen von Buchhaltungsdaten mit fast ausschließlichem Fokus auf das unternehmerische Finanzmanagement. In diesem Treffen der Gilde besteht kein Bedarf, die anschließende Entwicklung von diesem konzeptionellen Sammelsurium zu einer strengen ökonomischen",
    url = "https://doi.org/10.1111/j.1540-6261.1987.tb04565.x",
    doi = "10.1111/j.1540-6261.1987.tb04565.x",
    openalex = "W1999918735",
    references = "doi1010160022053176900466, doi1010160304393285900613, doi1010160304405x77900095, doi1010160304405x81900180, doi1010160304405x86900656, doi101086260061, doi101086295472, doi101111j154062611964tb02865x, doi101111j154062611977tb03317x, doi101126science7455683"
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@incollection{doi101007978146124380925,
    author = "Kaplan, Edward L. und Meier, Paul",
    title = "Nonparametrische Schätzung aus unvollständigen Beobachtungen",
    year = "1992",
    booktitle = "Springer series in statistics",
    url = "https://doi.org/10.1007/978-1-4612-4380-9\_25",
    doi = "10.1007/978-1-4612-4380-9\_25",
    openalex = "W1979300931",
    references = "doi101016s0025619626044435, doi101017s0022172400014443, doi10108001621459195210501160, doi10108001621459195210501187, doi10108003461238194910419767, doi101136bmj23320266, doi101214aoms1177728793, doi101214aoms1177731170, doi1023072281318, openalexw2407759279"
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In den letzten zwei Jahrzehnten gab es enorme Fortschritte bei statistischen Methoden für unvollständige Daten. Der EM-Algorithmus und seine Erweiterungen, die multiple Imputation und die Markov-Chain-Monte-Carlo-Methoden bieten eine Reihe flexibler und zuverlässiger Werkzeuge für die Inferenz in großen Klassen von Problemen mit fehlenden Daten. Dennoch haben diese Entwicklungen in praktischer Hinsicht überraschend wenig Einfluss auf die Art und Weise gehabt, wie die meisten Datenanalysten routinemäßig mit fehlenden Werten umgehen. Die Analyse unvollständiger multivariater Daten hilft, die Lücke zwischen Theorie und Praxis zu überbrücken und macht diese Werkzeuge für fehlende Daten einem breiten Publikum zugänglich. Das Buch stellt einen einheitlichen, bayessischen Ansatz zur Analyse unvollständiger multivariater Daten vor und behandelt Datensätze, bei denen die Variablen kontinuierlich, kategorial oder beides sind. Der Fokus liegt auf der Anwendung, wobei bei Bedarf die statistischen Eigenschaften dieser Methoden sowie das Verhalten der begleitenden Algorithmen erläutert werden, um den Lesern ein tiefes Verständnis zu vermitteln. Alle Techniken werden mit Beispielen aus echten Daten illustriert, ergänzt durch ausführliche Diskussionen und praktische Ratschläge. Alle in diesem Buch beschriebenen Algorithmen wurden vom Autor für den allgemeinen Einsatz in den statistischen Sprachen S und S Plus implementiert. Die Software steht kostenlos im Internet zur Verfügung.

@book{doi1012019781439821862,
    author = "Schafer, Joseph L.",
    title = "Analyse unvollständiger multivariater Daten",
    year = "1997",
    abstract = "In den letzten zwei Jahrzehnten gab es enorme Fortschritte bei statistischen Methoden für unvollständige Daten. Der EM-Algorithmus und seine Erweiterungen, die multiple Imputation und die Markov-Chain-Monte-Carlo-Methoden bieten eine Reihe flexibler und zuverlässiger Werkzeuge für die Inferenz in großen Klassen von Problemen mit fehlenden Daten. Dennoch haben diese Entwicklungen in praktischer Hinsicht überraschend wenig Einfluss auf die Art und Weise gehabt, wie die meisten Datenanalysten routinemäßig mit fehlenden Werten umgehen. Die Analyse unvollständiger multivariater Daten hilft, die Lücke zwischen Theorie und Praxis zu überbrücken und macht diese Werkzeuge für fehlende Daten einem breiten Publikum zugänglich. Das Buch stellt einen einheitlichen, bayessischen Ansatz zur Analyse unvollständiger multivariater Daten vor und behandelt Datensätze, bei denen die Variablen kontinuierlich, kategorial oder beides sind. Der Fokus liegt auf der Anwendung, wobei bei Bedarf die statistischen Eigenschaften dieser Methoden sowie das Verhalten der begleitenden Algorithmen erläutert werden, um den Lesern ein tiefes Verständnis zu vermitteln. Alle Techniken werden mit Beispielen aus echten Daten illustriert, ergänzt durch ausführliche Diskussionen und praktische Ratschläge. Alle in diesem Buch beschriebenen Algorithmen wurden vom Autor für den allgemeinen Einsatz in den statistischen Sprachen S und S Plus implementiert. Die Software steht kostenlos im Internet zur Verfügung.",
    url = "https://doi.org/10.1201/9781439821862",
    doi = "10.1201/9781439821862",
    openalex = "W4300187280"
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Einführung Annahmen EM und Inferenz durch Daten-Augmentations-Methoden für Normaldaten Mehr über das Normalmodell Methoden für kategoriale Daten Loglineare Modelle Methoden für gemischte Daten Weitere Themen Anhänge Referenzen Index

@article{doi1023071271466,
    author = "Booth, David E. und Schafer, Joseph L.",
    title = "Analyse unvollständiger multivariater Daten",
    year = "2000",
    journal = "Technometrics",
    abstract = "Einführung Annahmen EM und Inferenz durch Daten-Augmentations-Methoden für Normaldaten Mehr über das Normalmodell Methoden für kategoriale Daten Loglineare Modelle Methoden für gemischte Daten Weitere Themen Anhänge Referenzen Index",
    url = "https://doi.org/10.2307/1271466",
    doi = "10.2307/1271466",
    openalex = "W1550443206"
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Zusammenfassung Angenommen, wir möchten einen Vektor x 0 ∈ ℝ 𝓂 (z. B. ein digitales Signal oder Bild) aus unvollständigen und kontaminierten Beobachtungen y = A x 0 + e rekonstruieren; A ist eine 𝓃 × 𝓂 -Matrix mit weit weniger Zeilen als Spalten (𝓃 ≪ 𝓂) und e ist ein Fehlerterm. Ist es möglich, x 0 genau basierend auf den Daten y zu rekonstruieren? Um x 0 zu rekonstruieren, betrachten wir die Lösung x # zum 𝓁 1 ‐Regularisierungsproblem, wobei ϵ die Größe des Fehlerterms e ist. Wir zeigen, dass, wenn A einem einheitlichen Unsicherheitsprinzip gehorcht (mit normierten Spalten) und wenn der Vektor x 0 hinreichend dünn besetzt ist, die Lösung innerhalb des Rauschens liegt. Als erstes Beispiel nehmen wir an, dass A eine Gaußsche Zufallsmatrix ist; dann tritt eine stabile Wiederherstellung für fast alle solchen A 's auf, sofern die Anzahl der Nichtnullen von x 0 etwa derselben Größenordnung ist wie die Anzahl der Beobachtungen. Als zweites Beispiel nehmen wir an, dass man wenige Fourier-Proben von x 0 beobachtet; dann tritt eine stabile Wiederherstellung für fast jeden Satz von 𝓃 Koeffizienten auf, sofern die Anzahl der Nichtnullen der Größenordnung 𝓃/(log 𝓂) 6 ist. Im Fall, in dem der Fehlerterm verschwindet, ist die Wiederherstellung natürlich exakt, und diese Arbeit liefert tatsächlich neue Einblicke in das Phänomen der exakten Wiederherstellung, das in früheren Arbeiten diskutiert wurde. Die Methodik erklärt auch, warum man annähernd dünn besetzte Signale sehr genau rekonstruieren kann. © 2006 Wiley Periodicals, Inc.

@article{doi101002cpa20124,
    author = "Candès, Emmanuel J. und Romberg, Justin und Tao, Terence",
    title = "Stable signal recovery from incomplete and inaccurate measurements",
    year = "2006",
    journal = "Communications on Pure and Applied Mathematics",
    abstract = "Zusammenfassung Angenommen, wir möchten einen Vektor x 0 ∈ ℝ 𝓂 (z. B. ein digitales Signal oder Bild) aus unvollständigen und kontaminierten Beobachtungen y = A x 0 + e rekonstruieren; A ist eine 𝓃 × 𝓂 -Matrix mit weit weniger Zeilen als Spalten (𝓃 ≪ 𝓂) und e ist ein Fehlerterm. Ist es möglich, x 0 genau basierend auf den Daten y zu rekonstruieren? Um x 0 zu rekonstruieren, betrachten wir die Lösung x # zum 𝓁 1 ‐Regularisierungsproblem, wobei ϵ die Größe des Fehlerterms e ist. Wir zeigen, dass, wenn A einem einheitlichen Unsicherheitsprinzip gehorcht (mit normierten Spalten) und wenn der Vektor x 0 hinreichend dünn besetzt ist, die Lösung innerhalb des Rauschens liegt. Als erstes Beispiel nehmen wir an, dass A eine Gaußsche Zufallsmatrix ist; dann tritt eine stabile Wiederherstellung für fast alle solchen A 's auf, sofern die Anzahl der Nichtnullen von x 0 etwa derselben Größenordnung ist wie die Anzahl der Beobachtungen. Als zweites Beispiel nehmen wir an, dass man wenige Fourier-Proben von x 0 beobachtet; dann tritt eine stabile Wiederherstellung für fast jeden Satz von 𝓃 Koeffizienten auf, sofern die Anzahl der Nichtnullen der Größenordnung 𝓃/(log 𝓂) 6 ist. Im Fall, in dem der Fehlerterm verschwindet, ist die Wiederherstellung natürlich exakt, und diese Arbeit liefert tatsächlich neue Einblicke in das Phänomen der exakten Wiederherstellung, das in früheren Arbeiten diskutiert wurde. Die Methodik erklärt auch, warum man annähernd dünn besetzte Signale sehr genau rekonstruieren kann. © 2006 Wiley Periodicals, Inc.",
    url = "https://doi.org/10.1002/cpa.20124",
    doi = "10.1002/cpa.20124",
    openalex = "W2164452299",
    references = "doi101002cpa20132, doi101016016727899290242f, doi101017cbo9780511804441, doi101073pnas0437847100, doi101109tit2005858979, doi101109tit2005862083, doi101109tit2006885507, doi101137s003614450037906x, doi101137s1064827596304010, openalexw2296616510"
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Dieser Artikel betrachtet das Modellproblem der Rekonstruktion eines Objekts aus unvollständigen Frequenzproben. Betrachten Sie ein diskretzeitiges Signal f/spl isin/C/sup N/ und eine zufällig gewählte Menge von Frequenzen /spl Omega/. Ist es möglich, f aus dem partiellen Wissen seiner Fourier-Koeffizienten auf der Menge /spl Omega/ zu rekonstruieren? Ein typisches Ergebnis dieses Artikels ist wie folgt. Angenommen, f ist eine Superposition von |T| Spitzen f(t)=/spl sigma//sub /spl tau//spl isin/T/f(/spl tau/)/spl delta/(t-/spl tau/) unter der Bedingung |T|/spl les/C/sub M//spl middot/(log N)/sup -1/ /spl middot/ |/spl Omega/| für eine Konstante C/sub M/>0. Wir kennen weder die Positionen der Spitzen noch ihre Amplituden. Dann kann f mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 1-O(N/sup -M/) exakt als Lösung des /spl lscr//sub 1/ Minimierungsproblems rekonstruiert werden. Kurz gesagt, kann eine exakte Wiederherstellung durch Lösen eines konvexen Optimierungsproblems erzielt werden. Wir geben numerische Werte für C/sub M/ an, die von der gewünschten Erfolgswahrscheinlichkeit abhängen. Unser Ergebnis kann als eine neue Art von nichtlinearem Abtasttheorem interpretiert werden. Im Wesentlichen besagt es, dass jedes Signal, das aus |T| Spitzen besteht, durch konvexe Programmierung aus fast jeder Menge von Frequenzen der Größe O(|T|/spl middot/logN) wiederhergestellt werden kann. Darüber hinaus ist dies nahezu optimal in dem Sinne, dass jede Methode, die mit einer Wahrscheinlichkeit von 1-O(N/sup -M/) erfolgreich ist, im Allgemeinen eine Anzahl von Frequenzproben benötigt, die mindestens proportional zu |T|/spl middot/logN ist. Die Methodik lässt sich auf eine Vielzahl anderer Situationen und höherer Dimensionen erweitern. Zum Beispiel zeigen wir, wie man ein stückweise konstantes (ein- oder zweidimensionales) Objekt aus unvollständigen Frequenzproben rekonstruieren kann - sofern die Anzahl der Sprünge (Diskontinuitäten) die obige Bedingung erfüllt - indem man andere konvexe Funktionale wie die totale Variation von f minimiert.

@article{doi101109tit2005862083,
    author = "Candès, Emmanuel J. und Romberg, Justin und Tao, Terence",
    title = "Robust uncertainty principles: exact signal reconstruction from highly incomplete frequency information",
    year = "2006",
    journal = "IEEE Transactions on Information Theory",
    abstract = "Dieser Artikel betrachtet das Modellproblem der Rekonstruktion eines Objekts aus unvollständigen Frequenzproben. Betrachten Sie ein diskretzeitiges Signal f/spl isin/C/sup N/ und eine zufällig gewählte Menge von Frequenzen /spl Omega/. Ist es möglich, f aus dem partiellen Wissen seiner Fourier-Koeffizienten auf der Menge /spl Omega/ zu rekonstruieren? Ein typisches Ergebnis dieses Artikels ist wie folgt. Angenommen, f ist eine Superposition von |T| Spitzen f(t)=/spl sigma//sub /spl tau//spl isin/T/f(/spl tau/)/spl delta/(t-/spl tau/) unter der Bedingung |T|/spl les/C/sub M//spl middot/(log N)/sup -1/ /spl middot/ |/spl Omega/| für eine Konstante C/sub M/>0. Wir kennen weder die Positionen der Spitzen noch ihre Amplituden. Dann kann f mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 1-O(N/sup -M/) exakt als Lösung des /spl lscr//sub 1/ Minimierungsproblems rekonstruiert werden. Kurz gesagt, kann eine exakte Wiederherstellung durch Lösen eines konvexen Optimierungsproblems erzielt werden. Wir geben numerische Werte für C/sub M/ an, die von der gewünschten Erfolgswahrscheinlichkeit abhängen. Unser Ergebnis kann als eine neue Art von nichtlinearem Abtasttheorem interpretiert werden. Im Wesentlichen besagt es, dass jedes Signal, das aus |T| Spitzen besteht, durch konvexe Programmierung aus fast jeder Menge von Frequenzen der Größe O(|T|/spl middot/logN) wiederhergestellt werden kann. Darüber hinaus ist dies nahezu optimal in dem Sinne, dass jede Methode, die mit einer Wahrscheinlichkeit von 1-O(N/sup -M/) erfolgreich ist, im Allgemeinen eine Anzahl von Frequenzproben benötigt, die mindestens proportional zu |T|/spl middot/logN ist. Die Methodik lässt sich auf eine Vielzahl anderer Situationen und höherer Dimensionen erweitern. Zum Beispiel zeigen wir, wie man ein stückweise konstantes (ein- oder zweidimensionales) Objekt aus unvollständigen Frequenzproben rekonstruieren kann - sofern die Anzahl der Sprünge (Diskontinuitäten) die obige Bedingung erfüllt - indem man andere konvexe Funktionale wie die totale Variation von f minimiert.",
    url = "https://doi.org/10.1109/tit.2005.862083",
    doi = "10.1109/tit.2005.862083",
    openalex = "W2145096794",
    references = "doi101002j153873051961tb03976x, doi101007b98874, doi101016016727899290242f, doi1010179781108993456011, doi101073pnas0437847100, doi10110918959265, doi101109tit2004834793, doi101137s1064827596304010, doi10560219781421407944, openalexw2607928667"
}

@article{doi101016jacha200807002,
    author = "Needell, Deanna and Tropp, Joel A.",
    title = "CoSaMP: Iterative signal recovery from incomplete and inaccurate samples",
    year = "2008",
    journal = "Applied and Computational Harmonic Analysis",
    url = "https://doi.org/10.1016/j.acha.2008.07.002",
    doi = "10.1016/j.acha.2008.07.002",
    openalex = "W2289917018",
    references = "doi101002cpa20042, doi101002cpa20124, doi101016jcrma200803014, doi10110978258082, doi101109jstsp2007910281, doi101109tit2005858979, doi101109tit2005862083, doi101109tit2006871582, doi101109tit2006885507, doi101109tit2007909108, openalexw2296616510, openalexw3145128584"
}