Rotverschiebung

@article{setterfield1984c1,
    author = "Setterfield, B",
    title = "C decay and the red-shift",
    year = "1984",
    journal = "Ex Nihilo Technical Journal, v. 1, p. 71-86",
    note = "talkorigins\_source = {true}; raw\_reference = {Setterfield, B., 1984, C decay and the red-shift: Ex Nihilo Technical Journal, v. 1, p. 71-86.}"
}

Wir betrachten Lösungen der linearen Wellengleichung □ g ϕ = 0 auf einer (maximal fortgesetzten) Schwarzschild-Raumzeit mit Parameter M > 0, die sich von hinreichend regulären Anfangsdaten entwickeln, die auf einer vollständigen Cauchy-Oberfläche Σ vorgeschrieben sind, wobei angenommen wird, dass die Daten nur an räumlicher Unendlichkeit hinreichend schnell abklingen. (Insbesondere kann der Träger von ϕ den bifurkierenden Ereignishorizont enthalten.) Es wird gezeigt, dass der Energiefluss F (𝒮) der Lösung (wie gemessen von einem streng zeitartigen T̃, der asymptotisch mit dem statischen Killing-Feld übereinstimmt) durch beliebige achronale Teilmengen 𝒮 der Schwarzschild-Außenseite die Schranke F (𝒮) ≤ C E (v + u) erfüllt, wobei v und u das Infimum der Eddington-Finkelstein-zeitlichen Vorwärts- und Rückwärtszeit von 𝒮 bezeichnen, v + max{1, v} und u + max{1, u} bezeichnet, wobei C eine Konstante ist, die nur vom Parameter M abhängt, und E von einer geeigneten Norm der Lösung auf der Hypersurface t ≐ u + v = 1 abhängt. (Die Schranke gilt insbesondere für Teilmengen 𝒮 des Ereignishorizonts oder des Nullunendlichen.) Es wird auch gezeigt, dass ϕ die punktweise Abklingabschätzung | ϕ | ≤ C Ev in der gesamten Außenseite erfüllt, und die Abschätzungen | rϕ | ≤ C R̃ E (1 + | u |) −1/2 und | r 1/2 ϕ | ≤ C R̃ Eu in der Region {r ≥ R̃} ∩ J + (Σ) für jedes R̃ > 2 M. Die Abschätzungen in der Nähe des Ereignishorizonts nutzen eine integrale Energieidentität aus, die auf lokale Beobachter normiert ist. Diese Abschätzung kann als Quantifizierung des berühmten Rotverschiebungseffekts betrachtet werden. Die Ergebnisse liefern insbesondere einen unabhängigen Beweis des klassischen Ergebnisses | ϕ | ≥ C E von Kay und Wald ohne Rückgriff auf die diskreten Isometrien der Raumzeit. © 2009 Wiley Periodicals, Inc.

@article{dafermos2009the,
    author = "Dafermos, Mihalis and Rodnianski, Igor",
    title = "The red‐shift effect and radiation decay on black hole spacetimes",
    year = "2009",
    journal = "Communications on Pure and Applied Mathematics",
    abstract = "We consider solutions to the linear wave equation □ g ϕ = 0 on a (maximally extended) Schwarzschild spacetime with parameter M > 0, evolving from sufficiently regular initial data prescribed on a complete Cauchy surface Σ, where the data are assumed only to decay suitably at spatial infinity. (In particular, the support of ϕ may contain the bifurcate event horizon.) It is shown that the energy flux F (𝒮) of the solution (as measured by a strictly timelike T̃ that asymptotically matches the static Killing field) through arbitrary achronal subsets 𝒮 of the black hole exterior region satisfies the bound F (𝒮) ≤ C E (v + u), where v and u denote the infimum of the Eddington‐Finkelstein advanced and retarded time of 𝒮, v + denotes max{1, v}, and u + denotes max{1, u}, where C is a constant depending only on the parameter M, and E depends on a suitable norm of the solution on the hypersurface t ≐ u + v = 1. (The bound applies in particular to subsets 𝒮 of the event horizon or null infinity.) It is also shown that ϕ satisfies the pointwise decay estimate | ϕ | ≤ C Ev in the entire exterior region, and the estimates | rϕ | ≤ C R̃ E (1 + | u |) −1/2 and | r 1/2 ϕ | ≤ C R̃ Eu in the region {r ≥ R̃} ∩ J + (Σ) for any R̃ > 2 M. The estimates near the event horizon exploit an integral energy identity normalized to local observers. This estimate can be thought to quantify the celebrated red‐shift effect. The results in particular give an independent proof of the classical result | ϕ | ≥ C E of Kay and Wald without recourse to the discrete isometries of spacetime. © 2009 Wiley Periodicals, Inc.",
    url = "https://doi.org/10.1002/cpa.20281",
    doi = "10.1002/cpa.20281",
    number = "7",
    pages = "859-919",
    volume = "62"
}