Anhang: Herleitung der Korrekturgleichung für die Neutronenreaktion†
Jon Fleming hat diesen Abschnitt im Jahr 2005 hinzugefügt. Das Ziel besteht darin, die Herleitung der „Korrektur"-Gleichung von Cook und die Auswirkungen ungleicher Querschnitte auf das Ergebnis darzustellen. Sie basiert auf zwei Hauptannahmen, von denen beide mit fast sicherer Wahrscheinlichkeit falsch sind:
- Es gibt kein urtümliches Blei in den untersuchten Proben; all das Blei wurde durch radioaktiven Zerfall und/oder Neutroneneinfang erzeugt.
- Der Neutronenfluss war ausreichend, um all das 208Pb in den Proben zu erzeugen, da das 208Pb nicht vom Zerfall von 232Th stammen konnte (was heute noch mindestens etwas residuelles 232Th in den Proben hinterlassen hätte).
Erinnern Sie sich an die in der Haupttextstelle vorgestellten Neutroneneinfangreaktionsreihen:
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Wir werden vom Einfachen zum Komplexeren übergehen; beginnend mit dem Ende der Kette, dann das Anfang der Kette betrachend und schließlich das Mittel der Kette betrachtend.
Da wir „wissen", dass das gesamte 208Pb durch Neutroneneinfang erzeugt wurde, verwenden wir C207→208, um den Wirkungsquerschnitt für die Umwandlung von 207Pb zu 208Pb durch Neutroneneinfang anzugeben, N für den Neutronenfluss und 208Pbmeasured für die heute im Proben gemessene Menge an 208Pb:
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Oder, nach N auflösen:
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Nun bewegen wir uns zum Anfang der Kette. Hier gibt es einen Mechanismus, der 206Pb erzeugt (radioaktiver Zerfall von 238U) und einen anderen Mechanismus, der 206Pb zerstört (Neutroneneinfang). Daher ist die heute gemessene Menge an 206Pb weniger als die Menge, die durch den Zerfall von 238U erzeugt wurde. Unter Verwendung von 206PbRadiogenic als dem 206Pb, das durch radioaktiven Zerfall erzeugt wurde und für die Altersbestimmung verwendet werden sollte; 206PbMeasured als dem 206Pb, das tatsächlich in der Probe „heute" gemessen wurde; und 206PbConverted als dem 206Pb, das durch radioaktiven Zerfall erzeugt wurde und dann durch Neutroneneinfang in 207Pb umgewandelt wurde:
| (3) |
206PbConverted ist, natürlich, die Menge an 206Pb, die gemessen wurde, multipliziert mit einem Umrechnungsfaktor, der das Produkt aus dem Querschnitt (für die Umwandlung von 206Pb zu 207Pb durch Neutroneneinfang) und dem gesamten Neutronenfluss ist. Da das 206Pb und das 207Pb in unmittelbarer Nähe zueinander lagen, ist der gesamte Neutronenfluss N für beide gleich. Bezeichnen wir den Querschnitt mit C206→207:
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Da N für sowohl 206Pb als auch 207Pb identisch ist, können wir die rechte Seite der Gleichung (2) für den „N"-Term in der Gleichung (4) einsetzen:
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Nun betrachten wir die Mitte der Neutroneneinfang-Reihe, die Menge des aus radioaktivem Zerfall erzeugten 207Pb, 207Pbradiogen, die für die Altersberechnung verwendet werden sollte. Hier entstehen zwei Mechanismen 207Pb (radioaktiver Zerfall von 235U und Neutroneneinfang von 206Pb) und ein Mechanismus zerstört 207Pb (Neutroneneinfang, der 208Pb erzeugt).
207Pbradiogen ist die gemessene Menge 207Pbgemessen plus die Menge an 207Pb, die durch radioaktiven Zerfall erzeugt wurde und dann durch Neutroneneinfang in 208Pb umgewandelt wurde (was seinerseits gleich der Menge an 208Pbgemessen ist, da wir "wissen", dass alles 208Pb aus einer eins-zu-eins-Umwandlung von 207Pb stammt) und dann minus die Menge an 207Pb, die durch Neutroneneinfang aus 206Pb erzeugt wurde und nicht durch radioaktiven Zerfall (was seinerseits der zweite Term der rechten Seite der Gleichung (5) ist):
| (6) |
Und schließlich, durch Division der Gleichung (5) durch die Gleichung (6):
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die, wenn C207→208 = C206→207 (wie Cook annahm), auf die im Haupttext gegebene Gleichung reduziert wird, mit Ausnahme der Gruppierung der Pb-Terme im letzten Term von sowohl dem Zähler als auch dem Nenner:
| (8) |
Um das 206Pb/207Pb für die dritte Zeile der Tabelle 5 zu berechnen, wurden Dalrymples Werte für die Querschnitte in die Gleichung (7) eingesetzt:
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Ich weiß nicht, warum mein Ergebnis leicht (0,5%) von Dalrymples 16,38 abweicht, aber der Unterschied ist nicht signifikant.
Mit neueren Werten für die Wirkungsquerschnitte:
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was sich nicht signifikant von den anderen Werten unterscheidet.
Um das Alter aus diesen „korrigierten" Werten von 206Pb/207Pb zu berechnen, verwenden wir die Standardgleichung (die nicht in geschlossener Form lösbar ist) für das Alter „t" einer Probe (in Jahren) gegeben das Verhältnis 206Pb/207Pb, die Zerfallskonstante von 238U (λ1 = 1.55125×10-10 pro Jahr) und die Zerfallskonstante von 235U (λ2 = 9.8485×10-10 pro Jahr):
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(aus Dalrymple, G. Brent, „Das Alter der Erde", Stanford University Press, 1991, Seite 101. Die Werte von λ1 und λ2 stammen aus derselben Quelle, Seite 80. Beachten Sie, dass die Gleichung 207Pb/206Pb verwendet, den Kehrwert der Bleiverhältnisse, die in diesem Papier und der Ergänzung verwendet werden)
Die Altersgleichung kann mit einer Vielzahl numerischer Techniken leicht gelöst werden. Für 206Pb/207Pb = 16,46 beträgt das berechnete Alter 630 Millionen Jahre, und für 206Pb/207Pb = 16,47 beträgt das berechnete Alter 629 Millionen Jahre. Die Berücksichtigung des Effekts ungleicher Wirkungsquerschnitte für die Neutroneneinfangreaktionen macht Cooks Schlussfolgerung vollständig obsolet. Der Neutroneneinfang beeinflusst die Altersbestimmung mittels 206Pb/207Pb-Verhältnissen nicht merklich.
† Dieser Abschnitt urheberrechtlich geschützt © 2005 Jon Fleming. Nutzungserlaubnis erteilt, sofern dieser Urheberhinweis angegeben wird.
Ich bin Dr. Jamie Gilmour (Senior Lecturer, Isotope Geochemistry and Cosmochemistry, University of Manchester School of Earth, Atmospheric and Environmental Sciences) zu Dank verpflichtet, der mich in die richtige Richtung wies, um diese Herleitung zu verstehen.