Derivación de la ecuación de corrección de la reacción de neutrones

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Introducción

Adición: Derivación de la ecuación de corrección de la reacción de neutrón^†

Jon Fleming ha añadido esta sección en 2005. El propósito es mostrar la derivación de la ecuación de "corrección" de Cook y cómo las secciones transversales no iguales afectan el resultado. Se basa en dos premisas principales, ambas de las cuales son casi con toda seguridad falsas:

1. No hay plomo primordial en las muestras bajo consideración; todo el plomo fue creado por desintegración radiactiva y/o captura de neutrones.
   
   
2. El flujo de neutrones fue suficiente para crear todo el ²⁰⁸Pb en las muestras, ya que el ²⁰⁸Pb no pudo haber provenido de la desintegración del ²³²Th (lo que dejaría al menos un poco de ²³²Th residual en las muestras hoy).

Recuerde la serie de reacciones de captura de neutrones presentada en el texto principal:

Nos moveremos de lo simple a lo más complejo; comenzando con el final de la cadena, luego considerando el principio de la cadena y finalmente observando el medio de la cadena.

Dado que "sabemos" que todo el ²⁰⁸Pb se generó por captura de neutrones, utilizando C_207→208 para indicar la sección eficaz para convertir ²⁰⁷Pb en ²⁰⁸Pb mediante captura de neutrones, utilizando N para denotar el flujo de neutrones y utilizando ²⁰⁸Pb_medido para denotar la cantidad medida de ²⁰⁸Pb en la muestra hoy en día:

(1)

O, despejando para

(2)

A continuación, nos desplazamos al comienzo de la cadena. Aquí existe un mecanismo que crea ²⁰⁶Pb (desintegración radiactiva de ²³⁸U) y otro mecanismo que destruye ²⁰⁶Pb (captura de neutrones). Por lo tanto, la cantidad medida de ²⁰⁶Pb hoy es menor que la cantidad creada a partir de la desintegración de ²³⁸U. Utilizando ²⁰⁶Pb_Radiogénico como el ²⁰⁶Pb que se generó a partir de la desintegración radiactiva y que debe utilizarse en la determinación de la edad; ²⁰⁶Pb_Medido como el ²⁰⁶Pb que se midió realmente en la muestra "hoy"; y ²⁰⁶Pb_Convertido como el ²⁰⁶Pb que se generó a partir de la desintegración radiactiva y luego fue convertido en ²⁰⁷Pb mediante captura de neutrones:

(3)

²⁰⁶Pb_Converted es, por supuesto, la cantidad de ²⁰⁶Pb medida multiplicada por un factor de conversión que es el producto de la sección eficaz (para convertir ²⁰⁶Pb a ²⁰⁷Pb mediante captura de neutrones) y el flujo total de neutrones. Dado que el ²⁰⁶Pb y el ²⁰⁷Pb estaban en proximidad cercana, el flujo total de neutrones N es el mismo para ambos. Llamando a la sección eficaz C_206→207:

(4)

Dado que N es el mismo tanto para ²⁰⁶Pb como para ²⁰⁷Pb, podemos sustituir el lado derecho de la ecuación (2) por el término "N" en la ecuación (4):

(5)

Ahora consideramos la mitad de la serie de captura de neutrones, la cantidad de ²⁰⁷Pb generada por desintegración radiactiva, ²⁰⁷Pb_Radiogénico, que debe utilizarse en el cálculo de la edad. Aquí dos mecanismos están creando ²⁰⁷Pb (desintegración radiactiva de ²³⁵U y captura de neutrones de ²⁰⁶Pb) y un mecanismo está destruyendo ²⁰⁷Pb (captura de neutrones creando ²⁰⁸Pb).

²⁰⁷Pb_radiogénico es la cantidad medida ²⁰⁷Pb_medido más la cantidad de ²⁰⁷Pb que fue generada por desintegración radiactiva pero luego fue convertida en ²⁰⁸Pb por captura de neutrones (lo cual a su vez es igual a la cantidad de ²⁰⁸Pb_medido ya que “sabemos” que todo el ²⁰⁸Pb proviene de una conversión uno a uno de ²⁰⁷Pb) y luego menos la cantidad de ²⁰⁷Pb que fue generada a partir de ²⁰⁶Pb por captura de neutrones en lugar de desintegración radiactiva (lo cual a su vez es el segundo término del lado derecho de la ecuación (5)):

(6)

Y, finalmente, dividiendo la ecuación (5) por la ecuación (6):

(7)

la cual, cuando C_207→208 = C_206→207 (como Cook asumió), se reduce a la ecuación dada en el texto principal excepto por la forma en que los términos de Pb se agrupan en el último término tanto del numerador como del denominador:

(8)

Para calcular el ²⁰⁶Pb/²⁰⁷Pb de la tercera fila de la Tabla 5, utilizando los valores de Dalrymple para las secciones transversales introducidos en la ecuación (7):

No sé por qué mi resultado es ligeramente (0.5%) diferente al 16.38 de Dalrymple, pero la diferencia no es significativa.

Utilizando valores más recientes para las secciones eficaces:

que es insignificativamente diferente de los otros valores.

Para calcular la edad a partir de estos valores "corregidos" de ²⁰⁶Pb/²⁰⁷Pb, utilizamos la ecuación estándar (que no puede resolverse en forma cerrada) para la edad "t" de una muestra (en años) dada su relación ²⁰⁶Pb/²⁰⁷Pb, la constante de desintegración de ²³⁸U (λ₁ = 1.55125×10^-10 por año) y la constante de desintegración de ²³⁵U (λ₂ = 9.8485×10^-10 por año):

(de Dalrymple, G. Brent, "La edad de la Tierra", Stanford University Press, 1991, página 101. Los valores de λ₁ y λ₂ proceden de la misma fuente, página 80. Tenga en cuenta que la ecuación utiliza ²⁰⁷Pb/²⁰⁶Pb, el inverso de las proporciones de plomo utilizadas en este artículo y el suplemento)

La ecuación de la edad se resuelve fácilmente mediante cualquiera de una variedad de técnicas numéricas. Para ²⁰⁶Pb/²⁰⁷Pb = 16.46, la edad calculada es de 630 millones de años, y para ²⁰⁶Pb/²⁰⁷Pb = 16.47, la edad calculada es de 629 millones de años. Incluir el efecto de las secciones transversales no iguales para las reacciones de captura de neutrones anula completamente la conclusión de Cook. La captura de neutrones no afecta notablemente la medición de las edades mediante las proporciones de ²⁰⁶Pb/²⁰⁷Pb.

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^† Esta sección tiene derechos de autor © 2005 Jon Fleming. Se concede permiso de reproducción si se menciona este derecho de autor.

Le debo al Dr. Jamie Gilmour (Catedrático Senior, Geoquímica de Isótopos y Cosmoquímica, Escuela de Ciencias de la Tierra, la Atmósfera y el Medio Ambiente de la Universidad de Manchester) haberme indicado el camino correcto para comprender esta derivación.